ΕΛΕΝΑ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑ Ε΄ ΤΑΞΗ για τους μαθητές του τμήματος

Πέμπτη 30 Δεκεμβρίου 2021

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-ΣΧΟΛΕΙΟ

Καλημέρα, φίλε μου Αριθμέ (Φυσικοί αριθμοί) 0,1,2,3,.....άπειρο

Φυσικοί αριθμοί

Οι αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99, ..., 1000, ...λέγονται φυσικοί αριθμοί.

Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 0, σχηματίζεται από τον προηγούμενό του, με την πρόσθεση του αριθμού 1.

Παραδείγματα

Ο αριθμός 6 έχει επόμενο τον αριθμό 7, ο αριθμός 99 τον αριθμό 100, ο αριθμός 1000 τον αριθμό 1001 κ.ο.κ.

Για τη γραφή όλων των φυσικών αριθμών υπάρχουν δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Το ίδιο ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό, δηλώνει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λπ.

Αριθμοί με... συνοδεία (Δεκαδικοί αριθμοί) 0,123 Ε Δ Μ , δ ε χ

Δεκαδικοί αριθμοί

Δεκαδικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό μέρος. Τα δύο μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με την υποδιαστολή (,).

Όπως οι φυσικοί, έτσι και οι δεκαδικοί αριθμοί, σχηματίζονται από μονάδες διάφορων τάξεων στο ακέραιο και στο δεκαδικό μέρος.

Παραδείγματα

1,72

27,39

384,206

Στους παραπάνω δεκαδικούς αριθμούς το ψηφίο 2 έχει διαφορετική αξία, ανάλογα με τη θέση που έχει στον αριθμό.

Τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος κάθε τάξη είναι 10 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως επόμενη προς τα δεξιά της.

Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει, αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος του.

1 δέκατο = 10 εκατοστά

1 εκατοστό = 10 χιλιοστά

(δείξτε το στο χάρακά σας)

0,1 = 0,10

0,01 = 0,010

Οι αριθμοί αλλάζουν εμφάνιση (Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα)

Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι δυνατό να γραφούν ως δεκαδικά κλάσματα και τα δεκαδικά κλάσματα ως δεκαδικοί αριθμοί.

Παραδείγματα

Ο αριθμός 0,5 μπορεί να γραφεί ως .

Ο αριθμός μπορεί να γραφεί ως 0,8.

Για να γράψουμε έναν δεκαδικό αριθμό ως κλάσμα, γράφουμε όλο τον αριθμό, χωρίς την υποδιαστολή, στη θέση του αριθμητή και στη θέση του παρονομαστή γράφουμε τον αριθμό 1 με τόσα μηδενικά όσα ήταν τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού.

Ο αριθμός 1,5 γίνεται: 15 αριθμητής, με παρονομαστή το 10, δηλαδή ή 1 .

Οι αριθμοί αναμετριούνται (Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών αριθμών)

Δύο αριθμοί (φυσικοί ή δεκαδικοί) μπορούν πάντα να συγκριθούν μεταξύ τους.

Το αποτέλεσμα της σύγκρισης εκφράζεται με τα σύμβολα <, >, =.

Παραδείγματα

801 < 811

1,13 < 1,15

Προσθέσεις και αφαιρέσεις (Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών)

Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών

Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αντιμεταθετική ιδιότητα).

Παραδείγματα

προσθετέοι άθροισμα
49 + 16 = 65		3,2 + 11,5 = 14,7
16 + 49 = 65		11,5 + 3,2 = 14,7

Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους τον τρίτο κ.ο.κ. Αν αλλάξουμε τα ζευγάρια των προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει (προσεταιριστική ιδιότητα).

49 + 16 + 14 = (49 + 16) + 14 = 65 + 14 = 79

49 + 16 + 14 = 49 + (16 + 14) = 49 + 30 = 79

Η αφαίρεση είναι πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης. Σε κάθε αφαίρεση, αν προσθέσουμε τη διαφορά και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε τον μειωτέο.

μειωτέος - αφαιρετέος = διαφορά
693 - 541 = 152		92,5 - 48,2 = 44,3
152 + 541 = 693		44,3 + 48,2 = 92,5

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης μας βοηθούν να υπολογίζουμε πιο γρήγορα αθροίσματα με πολλούς αριθμούς. Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς γίνονται όπως και στους φυσικούς. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία σύμφωνα με την αξία τους.

Οι αριθμοί αναπαράγονται (Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών)

Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών

Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, δεν αλλάζει το γινόμενο (αντιμεταθετική ιδιότητα).

Παραδείγματα

παράγοντες γινόμενο

2 · 8 = 16 ή 2 · 8 = 16

2,5 · 8,4 = 21 ή 8,4 · 2,5 = 21

Για να πολλαπλασιάσουμε τρεις αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τους δύο μεταξύ τους και μετά το γινόμενό τους με τον τρίτο (προσεταιριστική ιδιότητα).

(2 · 3) · 5 = 6 · 5 = 30 ή 2 · (3 · 5) = 2 · 15 = 30

(2,5 · 3) · 4,2 = 7,5 • 4,2 = 31,5 ή 2,5 • (3 • 4,2) = 2,5 • 12,6 = 31,5

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε προσθετέο και να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση).

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και ως προς την αφαίρεση.

το γινόμενο 20 · (12 + 0,5) μπορεί να βρεθεί κι έτσι: 20 · 12 + 20 · 0,5 = 240 + 10 = 250

20 · (12 - 2) = 20 · 12 - 20 · 2 = 240 - 40 = 200

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μας βοηθούν να υπολογίζουμε εύκολα γινόμενα με πολλούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς γίνεται όπως και στους φυσικούς. Στο γινόμενο τα δεκαδικά ψηφία είναι τόσα, όσα ήταν συνολικά τα δεκαδικά ψηφία σε όλους τους παράγοντες.

Δίκαιη μοιρασιά! (Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών)

Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών

Τέλεια λέγεται η διαίρεση στην οποία το υπόλοιπο είναι 0. Όταν το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το 0, η διαίρεση λέγεται ατελής

Παραδείγματα

Εικόνα

Η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού.

Σε κάθε διαίρεση ο διαιρετέος είναι ίσος με το γινόμενο του διαιρέτη επί το πηλίκο συν το υπόλοιπο.

Εικόνα

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και ως προς την αφαίρεση.

12 : 1 = 12		3,5 : 1 = 3,5
12 : 12 = 1		3,5 : 3,5 = 1

Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με το 1, δίνει πηλίκο τον εαυτό του.

Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με τον εαυτό του, δίνει πηλίκο το 1.

0 : 12 = 0

0 : 3,5 = 0

Το 0, με όποιον αριθμό και αν διαιρεθεί, δίνει πηλίκο 0.

Σε κάθε διαίρεση, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει.

12 : 3 = 4

(12 · 2) : (3 · 2) = 24 : 6 = 4

Μαθαίνω τη γλώσσα των αριθμών (Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις)

Αριθμητικές παραστάσεις

Μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων λέγεται αριθμητική παράσταση.

Παραδείγματα

45 + 6 + 3,2 + 0,9 + 65

8 · 2,5 + 40

Σε ένα πρόβλημα, όταν θέλουμε να υπολογίσουμε μια ποσότητα, πρέπει να κάνουμε κάποιες πράξεις με συγκεκριμένη σειρά. Όλα αυτά μπορούμε να τα εκφράσουμε με μια αριθμητική παράσταση.

Αγόρασα 2 παγωτά των 0,90 € το καθένα και 3 μπουκαλάκια νερό των 0,45 € το καθένα. Πόσο πλήρωσα;

Λύση: 2 · 0,90 + 3 · 0,45 = 1,80 + 1,35 = 3,15

Στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά:

α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και

β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις

15 : 3 · 5 + 3,5 = 5 · 5 + 3,5 = 25 + 3,5 = 28,5

(αφού η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός έχουν την ίδια προτεραιότητα, εκτελούμε τις πράξεις από αριστερά προς τα δεξιά και μετά την πρόσθεση)

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά.

(117,6 + 98,4) : (40 - 22) = 216 : 18 = 12

Μιλώ τη γλώσσα των αριθμών (Λύνω σύνθετα προβλήματα των 4 πράξεων)

Λύνω προβλήματα

Όταν έχω να λύσω ένα πρόβλημα ακολουθώ με τη σειρά τα παρακάτω βήματα:

Αν δεν είναι γραμμένο, το γράφω γιατί έτσι θα μπορέσω να το μελετήσω καλύτερα:

Διαβάζω (όσες φορές είναι απαραίτητο) μέχρι να μπορώ να πω με βεβαιότητα ότι κατάλαβα:
- Ποια είναι τα γνωστά στοιχεία (δεδομένα).
- Ποια είναι τα άγνωστα (ζητούμενα).
Καταστρώνω ένα σχέδιο λύσης και αποφασίζω ποιες πράξεις θα κάνω για να λύσω το πρόβλημα.
Εκτελώ τις πράξεις με προσοχή. τις πράξεις με προσοχή.
Απαντώ στην ερώτηση του προβλήματος.

Τέλος ελέγχω αν το αποτέλεσμα είναι λογικό. Αν δεν είναι, αρχίζω τα βήματα από την αρχή.

10.

Ενα μηχάνημα που μιλάει μαθηματικά μαζί μου (Η χρήση του υπολογιστή τσέπης)

Ο υπολογιστής τσέπης

(Πότε;) Χρησιμοποιούμε τον υπολογιστή τσέπης για να πραγματοποιήσουμε γρήγορα μεγάλους υπολογισμούς, ή για να κάνουμε γρήγορη επαλήθευση των αποτελεσμάτων μας.
(Τι είδους;) Διαλέγουμε έναν υπολογιστή απλό κι εύχρηστο και όχι κάποιον με χαρακτηριστικά που δεν μας χρειάζονται όπως, για παράδειγμα, να κάνει επιστημονικούς υπολογισμούς και γραφήματα ή να έχει μουσική και ρολόι.
(Όρια;) Σε έναν υπολογιστή τσέπης η οθόνη «χωράει» συνήθως 8 ή 9 ψηφία. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να επεξεργαστεί αριθμούς με περισσότερα ψηφία από αυτά.
(Έλεγχος;) Το αποτέλεσμα της πράξης που κάναμε στον υπολογιστή τσέπης χρειάζεται να το εξετάζουμε με τη λογική. Αρκετές φορές καταλήγουμε σε λανθασμένους υπολογισμούς, γιατί είτε κάναμε λάθος στην πληκτρολόγηση κάποιου συμβόλου ή της υποδιαστολής είτε δεν λάβαμε υπόψη τη σειρά των πράξεων

11.

Πρόχειροι λογαριασμοί (Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών)

Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών

Συχνά στη θέση κάποιου αριθμού χρησιμοποιούμε κάποιον άλλο, μικρότερο ή μεγαλύτερο, πολύ κοντινό στον αρχικό, για πρακτικούς λόγους. Αυτή η διαδικασία λέγεται στρογγυλοποίηση.

Αν το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά από εκείνο στο οποίο θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση είναι 0, 1, 2, 3 ή 4, τότε απλώς το αντικαθιστούμε, όπως και όλα τα επόμενα προς τα δεξιά, με μηδενικά.
Αν το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, τότε αυξάνουμε το ψηφίο στο οποίο θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε κατά μία μονάδα και μετά αντικαθιστούμε τα ψηφία στα δεξιά του με μηδενικά.

Δεν στρογγυλοποιούμε τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται ως κώδικας επικοινωνίας (π.χ. ο αριθμός της ταυτότητας ή της πινακίδας του αυτοκινήτου, ο Τ.Κ. του σπιτιού κ.λπ.).

12.

Μπαίνεις μόνο αν χωράς ακριβώς (Διαιρέτες ενός αριθμού - Μ.Κ.Δ. αριθμών)

Διαιρέτες αριθμού, Μ.Κ.Δ. αριθμών

Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρεί ακριβώς έναν άλλο φυσικό αριθμό λέγεται διαιρέτης του.

Παραδείγματα

Ο αριθμός 9 έχει διαιρέτες τους αριθμούς: 1, 3, 9.

Δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους λέγεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.).

Ο αριθμός 16 έχει διαιρέτες τους αριθμούς: 1, 2, 4, 8, 16.
Ο αριθμός 24 έχει διαιρέτες τους: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Οι αριθμοί 1, 2, 4, 8 είναι κοινοί διαιρέτες του 16 και του 24.
Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους είναι το 8.

13.

Μάντεψε το μυστικό κανόνα μου (Κριτήρια διαιρετότητας)

14.

Κριτήρια διαιρετότητας 1. Ένας αριθμός διαιρείται με το 10, το 100, το 1000, ..., αν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία, ... μηδενικά αντίστοιχα.	Παραδείγματα Ο αριθμός 230 διαιρείται με το 10, ο αριθμός 2300 με το 10 και το 100, ...
2. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2, αν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8.	Οι αριθμοί 6, 28, 374, 1350 διαιρούνται με το 2.
3. Ένας αριθμός διαιρείται με το 5, αν τελειώνει σε 0 ή σε 5.	Οι αριθμοί 75, 105, 300, 2630 διαιρούνται με το 5.
4. Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή με το 9.	Ο αριθμός 201 διαιρείται με το 3, ενώ ο αριθμός 261 διαιρείται με το 3 και το 9.
5. Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 ή το 25, αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το 4 ή με το 25.	Το 132 διαιρείται με το 4, ενώ το 275 διαιρείται με το 25.
Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 λέγονται άρτιοι (ζυγοί) αριθμοί ενώ οι υπόλοιποι λέγονται περιττοί (μονοί).	0, 2, 4, ..., 98, 100, ..., 948,...

Είμαστε και οι πρώτοι! (Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί)

15.

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί

Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον εαυτό του) λέγεται πρώτος.

Παραδείγματα

Ο αριθμός 2, έχει για διαιρέτες μόνο το 1 και το 2.

Ένας αριθμός που έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες λέγεται σύνθετος.

Ο αριθμός 4, έχει για διαιρέτες το 1, το 2 και το 4.

Ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος ( έχει μόνο έναν διαιρέτη, τον εαυτό του).

Δέντρα με αριθμούς (Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών)

Γινόμενο πρώτων παραγόντων

Ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να εκφραστεί και ως γινόμενο πρώτων αριθμών (γινόμενο πρώτων παραγόντων).

90=2.3.3.5

Παραδείγματα

Ο αριθμός 10, μπορεί να εκφραστεί και ως 2 · 5.

16.

Εχουμε πολλά κοινά μεταξύ μας (Πολλαπλάσια ενός αριθμού - Ε.Κ.Π.)

Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού, Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών

Πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο φυσικό αριθμό.

Κάθε φυσικός αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.
Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των φυσικών αριθμών.

Παραδείγματα

Πολλαπλάσια του 4 είναι οι αριθμοί: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ..., άπειρο
Πολλαπλάσια του 6 είναι οι αριθμοί: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ..., άπειρο
Κοινά πολλαπλάσια του 4 και του 6 (εκτός από το 0) είναι οι αριθμοί 12, 24, 36, ...

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια, εκτός από το 0, λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.).

Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 4 και του 6 είναι το 12.

17.

Πολλοί μαζί είμαστε πιο δυνατοί (Δυνάμεις)

Δύναμη φυσικού αριθμού

Ένα γινόμενο με ίδιους παράγοντες μπορεί να γραφεί ως δύναμη. Η δύναμη αποτελείται από δύο αριθμούς: τη βάση που είναι ο αριθμός που χρησιμοποιείται ως παράγοντας στο γινόμενο και τον εκθέτη που δείχνει πόσες φορές ο αριθμός της βάσης χρησιμοποιείται ως παράγοντας.

Παραδείγματα

Παράγοντες γινομένου - δύναμη

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵

2⁵

2: βάση

5: εκθέτης

Ο εκθέτης γράφεται με μικρότερο μέγεθος, πάνω και δεξιά από τη βάση. Για παράδειγμα, η δύναμη με βάση το 2 και εκθέτη το 5 γράφεται 2⁵ και διαβάζεται: 2 στην πέμπτη(δύναμη) .

Δυνάμεις του 10

Κάθε δύναμη του 10 είναι ίση με τον αριθμό που σχηματίζεται από το ψηφίο 1 και τόσα μηδενικά όσες μονάδες έχει ο εκθέτης.

Παραδείγματα

10² = 100
10 ⁴ = 10.000
1.000 = 10³1.000.000 = 10⁶

Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:....................................

Υπολόγισε την παρακάτω αριθμητική παράσταση:

2+3 : 2 =

Το άθροισμα δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι 423. Βρες ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί.

.....................................................................................

Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

......................................

Να βρείτε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των αριθμών 6, 24 και 36.

......................................................................

Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του αριθμού 30.

.................................................................

Βρες τους διψήφιους αριθμούς που διαιρούνται με το πέντε και που το ψηφίο των δεκάδων τους διαιρείται και με το δύο και με το τρία.

......................................................................................................................................................

Να γράψετε όλους τους δεκαδικούς αριθμούς που έχουν δύο δεκαδικά ψηφία και βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 0,5 και 0,6.

.............................................................................

Η Μαρία έχει 10 ευρώ. Μπορεί να αγοράσει για τον εαυτό της και τους 22 συμμαθητές της ένα μπουκάλι νερό για τον καθένα που κοστίζει 45 λεπτά το ένα; ………………………………………………………………………………………………………………

. Από ένα σιδηροδρομικό σταθμό αναχωρεί μια αμαξοστοιχία στις 10:23 και μια άλλη στις 17:11 της ίδιας ημέρας. Βρες πόσες ώρες και πόσα λεπτά μεσολαβούν μεταξύ των δύο αναχωρήσεων.

.........................................................................

εμβαδον-Ε΄ΤΑΞΗ

Η Έλλη από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με μήκος 20 εκ. και πλάτος 10 εκ. έκοψε ένα τετράγωνο κομμάτι πλευράς 8 εκ.

α. Βρες την περίμετρο του χαρτονιού που έμεινε μετά το κόψιμο (το σκούρο μέρος του σχήματος). β. Βρες το εμβαδόν του χαρτονιού που έμεινε μετά το κόψιμο (το σκούρο μέρος του σχήματος). γ. Βρες τι ποσοστό του εμβαδού του αρχικού χαρτονιού είναι το εμβαδόν του τετράγωνου που κόπηκε .

.............................................................................................

Η περίμετρος τετραγώνου με εμβαδό 36 τετραγωνικά μέτρα είναι:

Α. 6 μέτρα Β. 24 μέτρα Γ. 36 μέτρα Δ. 144 μέτρα

Δευτέρα 20 Δεκεμβρίου 2021

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Yπολόγισε με σύντομο τρόπο πόσα μικρά τετράγωνα υπάρχουν στο διπλανό σχήμα.
Γράψε την πράξη που έκανες:

Yπολόγισε το πλήθος των μικρών κύβων στην παρακάτω κατασκευή:

. Ο κύριος Γιάννης έδωσε σε καθένα από τα 5 εγγόνια του 5 χαρτονομίσματα των 5 ευρώ. Να εκφράσετε με μορφή δύναμης και να υπολογίσετε τα χρήματα που έδωσε ο κύριος Γιάννης στα εγγόνια του.

Απάντηση:………………………………………………

Ο Λευτέρης δουλεύει σε μία εταιρεία 5 μέρες την εβδομάδα, για 5 ώρες κάθε μέρα προς 5 ευρώ την ώρα. Να εκφράσετε με μορφή δύναμης και να υπολογίσετε τα χρήματα που παίρνει α) σε 1 εβδομάδα και β) σε 5 εβδομάδες.

Απάντηση

Η Βροχούλα, ο Μουντζούρης κι ένα χριστουγεννιάτικο όνειρο -για την ΤΕΤΑΡΤΗ-ΑΝΘΟΛΟΓΙΟ

Ένα παραμύθι για την αισιοδοξία και την αγάπη!

Βρισκόμαστε σε μία χιονισμένη πολιτεία, το 1920.

Η Χιονούλα είναι μία άσπρη, πιτσιλωτή γάτα, χωρίς αφεντικό, που αγαπούσε πολύ τη ζωή. Στην άλλη άκρη της γης ζούσε ένας μικρός κατάμαυρος σκύλος, ο Mουτζούρης. Τα κρύα αυτά Χριστούγεννα, έψαχναν και οι δύο έναν τρόπο να προφυλαχτούν. Ένα χριστουγεννιάτικο όνειρο, αλλάζει τα Χριστούγεννά τους για πάντα.

Η Βροχούλα, ο Μουντζούρης

κι ένα χριστουγεννιάτικο όνειρο

Εκείνα τα Χριστούγεννα του 1920 ένας τρελός χιονιάς ξάφνιασε ολόκληρη τη γη. Χιόνιζε και χιόνιζε ασταμάτητα. Όσοι είχαν ζεστά ρούχα και φωτιά ήταν ευτυχισμένοι. Κι οι γάτες τους, ευτυχισμένες κι αυτές. Οι γάτες όμως των φτωχών —και δεν ήταν λίγοι οι φτωχοί εκείνα τα Χριστούγεννα του 1920— οι γάτες, λοιπόν, των φτωχών τουρτούριζαν κι όλο στον ύπνο το 'ριχναν για να ξεχνούν την πείνα τους.

Υπήρχαν όμως και χειρότερα. Σε μια χιονισμένη πολιτεία ζούσε η Βροχούλα, μια άσπρη γάτα με καφετιές πιτσίλες, που ούτε πλούσιο είχε γι' αφεντικό ούτε καν τον πιο φτωχό απ' τους φτωχούς. Μόνη κι αδέσποτη... Στο δρόμο την έβρισκαν οι μέρες και οι νύχτες. Κοιμότανε στο δρόμο κι έτρωγε —άμα έτρωγε— ό,τι της λάχαινε. Έτσι πορευόταν η Βροχούλα. Κι επειδή πίστευε πως είν' ωραία η ζωή και πως, δεν μπορεί, θα 'ρθουν καλύτερες μέρες, όπως άκουγε τους ανθρώπους να λεν συχνά πυκνά, δε βαρυγκομούσε*. Με τόσο χιόνι όμως —τι χιόνι ήταν και τούτο!— τα 'χασε. Ξεπάγιασαν τ' αυτιά της κι η μουσούδα της. Κι οι πατούσες της ξεπάγιασαν κι αυτές. Πάει, σκεπάστηκαν κι οι σκουπιδοντενεκέδες μ' ένα πάπλωμα χιόνι, βαρύ, ασήκωτο.

«Πάλι νηστική θα μείνω χριστουγεννιάτικα», νιαούρισε τουρτουρίζοντας. Κι ήταν ίσως η πρώτη φορά που το νιαούρισμά της έμοιαζε κάπως με παράπονο.

Στην άλλη άκρη της γης, σε μια άλλη χιονισμένη πολιτεία, όπου οι άνθρωποι μιλούσαν άλλη γλώσσα κι είχαν άλλο χρώμα, ζούσε ο Μουντζούρης, ένας μικρός κατάμαυρος σκύλος. Πού τον έχανες, πού τον έβρισκες, στις στέγες των σπιτιών. Λες κι ήτανε κεραμιδόγατος. Δεν είχε αφεντικό κι αυτός, κι όπως η Βροχούλα, ανήμερα Χριστούγεννα, είχε ξεπαγιάσει και χάιδευε ολοένα με τα μπροστινά του πόδια την άδεια του κοιλιά, σαν να 'θελε να την παρηγορήσει. Ζητώντας λίγη ζεστασιά κουλουριάστηκε πλάι σε μια καμινάδα ο Μουντζούρης. Κι έτσι όπως έπεφτε πυκνό το χιόνι, έπρεπε κάθε τόσο να τινάζει απ' τη ράχη του τις νιφάδες, αν ήθελε να μη γίνει σαν το χιονάνθρωπο της κεντρικής πλατείας.

Την ίδια ώρα η Βροχούλα, στην άλλη πολιτεία, τρύπωνε σε μια ξεχαρβαλωμένη μπότα. Την είχε ανακαλύψει πεταμένη σ' ένα υπόστεγο με καυσόξυλα κι έτρεξε γραμμή να λουφάξει μέσα της. Νύχτωνε τώρα.

«Εδώ θα κάνω Χριστούγεννα», συλλογίστηκε. Κι ένιωσε μάλιστα τυχερή, γιατί ποιος ξέρει πόσες γάτες με τέτοια παγωνιά θα λαχταρούσαν μια ξεχαρβαλωμένη μπότα. Μισόκλεισε τα μάτια η Βροχούλα κι αφέθηκε σιγά σιγά να χαζεύει το φωτισμένο παράθυρο στ' αντικρινό σπίτι. Έβλεπε δώρα και παιχνίδια να βαραίνουν στα κλαριά του χριστουγεννιάτικου δέντρου, πιατέλες με φαγητά κι άλλες πιατέλες με γλυκίσματα να περνούν από χέρι σε χέρι, και δυο παιδιά να χοροπηδούν χτυπώντας παλαμάκια. Και τραγουδούσαν τα παιδιά κι είχαν τα μάγουλά τους αναψοκοκκινισμένα απ' τη ζέστη.

«Α... να 'μουν κι εγώ εκεί!», πεθύμησε η Βροχούλα. Και καθώς γέμιζε ο νους της μ' ένα σωρό τέτοιες γλυκές σκέψεις, βάρυναν τα μάτια της κι αποκοιμήθηκε.

Εκείνη ακριβώς τη στιγμή, στη μακρινή πολιτεία, στην άλλη άκρη της γης, όπου οι άνθρωποι μιλούσαν άλλη γλώσσα κι είχαν άλλο χρώμα, αποκοιμιόταν κι ο Μουντζούρης με τη ράχη κολλημένη στην καμινάδα. Κι η καμινάδα ανέβαζε απ' τη σάλα χαρούμενες παιδιάστικες φωνές και ζεστασιά κι ευωδιές από ψητά που του γαργαλούσαν τα ρουθούνια. Ήρθαν, λοιπόν, και στο δικό του νου οι ίδιες γλυκές σκέψεις, οι ίδιες ακριβώς. Γιατί κι αυτός τουρτούριζε, πεινούσε κι αυτός και, τέλος πάντων, τι Χριστούγεννα ήταν πάλι και τούτα, μόνος πάνω στα κεραμίδια...

Αν όμως ήρθαν έτσι ανάποδα τα πράγματα, δε θα 'μεναν έτσι. Απ' το χριστουγεννιάτικο ουρανό, που 'ναι γεμάτος αγγελάκια μ' ασημένιες φτερούγες, για ν' ακούνε κάθε λογής ευχές κι επιθυμίες, ξεγλίστρησε ένα μικρό χριστουγεννιάτικο όνειρο και τύλιξε απαλά τη Βροχούλα και το Μουντζούρη. Τους τύλιξε και τους δυο μαζί, γιατί αποκοιμήθηκαν κι οι δυο την ίδια ακριβώς στιγμή, με τις ίδιες γλυκές σκέψεις στο μυαλό, τις ίδιες ακριβώς.

Κι είχε μέσα του το μικρό όνειρο ένα ζεστό σπίτι, και μες στο σπίτι μια φαμίλια με παιδιά κι όλοι γύρω τριγύρω απ' το χριστουγεννιάτικο τραπέζι. Καλό το φαγητό κι η ζεστασιά καλή, χόρτασαν και χάδια ο Μουντζούρης κι η Βροχούλα, όμως απ' όλα πιο καλό ήταν που συναντήθηκαν στο ίδιο χριστουγεννιάτικο όνειρο.

Κι ως φαίνεται, αγάπησε πολύ ο Μουντζούρης τη Βροχούλα, τον αγάπησε κι η Βροχούλα το ίδιο πολύ, το ίδιο ακριβώς, γιατί σαν τέλειωσε το όνειρο και ξύπνησε εκείνος πλάι στην καμινάδα πάλι μόνος, κι εκείνη μόνη μες στην ξεχαρβαλωμένη μπότα, άφησαν κι οι δυο τους από ένα βαθύ αναστεναγμό. Θα πρέπει μάλιστα ν' αγαπηθήκανε, όπως λεν, παράφορα, αφού την ίδια κιόλας μέρα ξεκίνησε ο Μουντζούρης απ' τη μακρινή πολιτεία στην άλλη άκρη της γης να ψάξει τη Βροχούλα. Με τον ίδιο σκοπό πήρε κι αυτή τους δρόμους... Και βέβαια τέτοιες ιστοριούλες πρέπει να 'χουν αίσιο τέλος. Έτσι δεν είναι; Μετά από χίλια βάσανα, κούραση, αγρύπνιες κι ένα σωρό κινδύνους, σμίξανε επιτέλους τα επόμενα Χριστούγεννα κοντά σ' ένα χωριό έξω απ' την Κατερίνη.

* βαρυγκομούσε (βαρυγκομώ): παραπονιόταν

Ερωτήσεις - Δραστηριότητες:

Ο Μουντζούρης και η Βροχούλα διαθέτουν γνωρίσματα που θυμίζουν ανθρώπινους χαρακτήρες; Ποια είναι αυτά;
Τι λέτε, η διαφορετική γλώσσα, η θρησκεία και το χρώμα είναι λόγοι που μπορούν να εμποδίσουν δυο ανθρώπους να γνωριστούν και να ζήσουν μαζί;
Ο συγγραφέας μάς πληροφορεί στον πρόλογο του βιβλίου που περιλαμβάνει την ιστορία της Βροχούλας και του Μουντζούρη ότι όλες τις ιστορίες που περιέχονται στο βιβλίο τις εμπνεύστηκε κοιτάζοντας παλιές κάρτες. Γράψτε κι εσείς μια ιστορία, κοιτάζοντας μια χριστουγεννιάτικη ή άλλη κάρτα της αρεσκείας σας.
Ο συγγραφέας δεν αναφέρεται στις δυσκολίες που σίγουρα θα συνάντησαν οι δύο ήρωές μας ώσπου ν' ανταμώσουν. Μπορείτε να αναφερθείτε εσείς σ' αυτές;