κλασμα

 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑΚΛΑΣΜΑΤΑ -Μαθηματική Εταιρεία

1) ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΚΛΑΣΜΑ – 

  ΠΡΟΣΟΧΗ  Όταν το κλάσμα δείχνει το μέρος ενός  όλου τότε:

ο παρονομαστής δείχνει σε πόσα ίσα μέρη  χωρίζουμε το όλο.

ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ   👇

Η μάθηση διευκολύνεται, όταν  ΣΧΕΔΙΑΖΟΥΜΕ  με πολλούς τρόπους τα κλάσματα . Αυτό μας αναγκάζει να ξανασκεφτομαστε συνεχώς την έννοια του κλάσματος και τελικά να τη γενικεύουμε.   

Λάθη των μαθητων στην έννοια του κλάσματος 

σε όλο τον κοσμο!

1.ΠΡΟΣΟΧΗ

2.οι μαθητές συνηθίζουν να χρησιμοποιούν στους υπολογισμούς τους τον αριθμητή και να αγνοούν τον παρονομαστή. 

1.ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΩΣ ΠΗΛΙΚΟ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ

τετραδιο εργασιών   σχολείο

απο μικτο αριθμο σε κλάσμα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ,

 ΚΑΝΟΝΕΣ-ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΑΠΕΞΩ   

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ- 

ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΩ   για τις δυναμεις.

το 2 ονομαζεται εκθετης  , ενω το 3 βαση  

ΓΡΑΦΩ ΣΥΝΤΟΜΑ ΜΕ ΔΥΝΑΜΗ ( τον εκθετη τον γραφουμε λιγο πιο μικρο  πάνω δεξιά)

      Ο χρυσός κανόνας   

Ο εκθέτης λέει πόσες φορές πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με τον εαυτό του.

7³ = 7 . 7 . 7 = 343

Παραδείγματα

• 3² = 3 × 3 = 9

• 4² = 4 × 4 = 16

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8

• 5¹ = 5

3² = 3 × 3=                             4² = 4 × 4=

2³ = 2 × 2 × 2                                  5¹ = 5

ΠΡΟΣΟΧΗ  πολλαπλασιαζουμε  τον αριθμο  προσεχτικα με τον εαυτο του   

ΤΑ  ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΜΠΕΡΔΕΥΟΥΝ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ   1. Τι σημαίνει η δύναμη

Πρόσθετη Άσκηση

Βρες τις δυνάμεις  : 1² =                 ,  2² =               ,   3² =               ,                                      4² =            ,   5² =                    , 6² =              , 

                      7² =                , 8² =                   , 9² =           , 10² = 

                       1³ =                   , 2³ =                  , 3³ =           10³=

    

                    Στις ασκησεις αναλυσης αριθμου σε γινομενο πρωτων παραγοντων  μπορουμε  να χρησιμοποιησουμε για συντομια και τις ΔΥΝΑΜΕΙΣ                      

ΕΩΣ ΕΔΩ... αν θελετε ριχνετε μια ματια στα προβλήματα  που χρησιμοποιουμε τις δυναμεις

1. στο εμβαδον τετραγώνου

2.ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

• Yπολόγισε με σύντομο τρόπο πόσα μικρά τετράγωνα υπάρχουν στο ΠΑΡΑΚΑΤΩ σχήμα.

• Γράψε την πράξη που έκανες:ΜΕ ΔΥΝΑΜΗ;

 Ο κύριος Γιάννης έδωσε σε καθένα από τα 3  εγγόνια του 3  χαρτονομίσματα των 3  ευρώ. Να εκφράσετε με μορφή δύναμης και να υπολογίσετε τα χρήματα που έδωσε ο κύριος Γιάννης στα εγγόνια του.

...........................................................................................................................................................................

ΜΚΔ και ΕΚΠ

ΜΕ ΕΝΑΝ ΤΡΟΠΟ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΚΔ ΚΑΙ ΕΚΠ

ΜΚΔ και ΕΚΠ  φυσικών αριθμών με ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΜΚΔ= 2.2.3.3=

ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΚΔ παιρνουμε τους κοινους μονο παράγοντες με την μικρότερη δύναμη

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ΕΚΠ=2.2.2.3.3.5=

ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΟ ΕΚΠ παίρνουμε κοινους και μη κοινους παραγοντες με την μεγαλυτερη δύναμη

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ- γινόμενο πρωτων παραγόντων

Πρώτος λέγεται κάθε αριθμός που διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1.
π.χ. πρώτοι είναι το 2, το 3, το 5, το 7, το 11,.......

Για να αναλύσετε έναν αριθμό σε γινόμενο πρώτων, 

εξετάζετε με ποιον πρώτο αριθμό διαιρείται ξεκινώντας από το 2, το 3, το 5, 7,11.... κτλ

. πχ. η ανάλυση του 140 είναι




Όπως είπαμε και στο μάθημα, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, 

είναι χρήσιμη για να βρίσκουμε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ

 μεγάλων αριθμών σε ασκήσεις κλασμάτων.

ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΔΙΟ

Βρείτε το (ΕΚΠ) (15, 18) .

ΕΚΠ  (15, 18) = 

2. 
   

ΚΑΝΟΝΑΣ

ΕΚΠ=Για να βρουμε το ΕΚΠ πολλαπλασιάζουμε 

κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη

2.Να βρεθει  το Ε.Κ.Π. των φυσικων αριθμών ( με ανάλυση  κάθε αριθμού σε γινόμενο πρωτων  παραγοντων)

3Ο=

60=

90=

ΕΚΠ=

3.Να βρεθει  το Ε.Κ.Π. των φυσικων αριθμών 18 και 24 

( με ανάλυση  κάθε αριθμού σε γινόμενο πρωτων  παραγοντων)

18=

24=

ΕΚΠ=

Βρίσκω το ΕΚΠ των αριθμών 

4,5,2

ΕΚΠ 

Βρίσκω το ΕΚΠ των αριθμών .

30, 40, 60

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ... ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής σκέψης.

ασκησεις για το τετραδιο    ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΤΗ

Υπενθύμιση       ΠΡΟΣΟΧΗ ΔΕΝ ΛΥΝΩ ΑΣΚΗΣΗ ΕΑΝ ΔΕΝ ΜΑΘΩ ΚΑΛΑ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ  ΕΩΣ ΤΟ 23  

Οι πρώτοι αριθμοί είναι:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

πρωτα τους μαθαινω απεξω....και μετα κανω τισ ασκήσεις

 ΑΣΚΗΣΕΙΣ    

1. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς δεν είναι πρώτοι;
9, 15, 17, 21, 23, 25

1.  Η δασκάλα έγραψε στον πίνακα τους αριθμούς
   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
   και είπε:
   «Ψαρέψτε μόνο τους πρώτους!»   Ποιοι θα μείνουν στο δίχτυ;

3.Ποιος λείπει από τη λίστα;

2, 3, _ 7, __, 13
Ποιος αριθμός λείπει;
(Πρόσεξε ποιοι είναι οι πρώτοι ανάμεσα στο 7 και στο 13.)

4. Ποιος είναι ο μόνος ζυγός αριθμός που είναι πρώτος;
Γιατί δεν υπάρχει άλλος;

5.Κύκλωσε ποιοι από τους παρακάτω είναι πρώτοι:
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

6.Ο Πέτρος είπε:
«Ο 9 είναι πρώτος γιατί είναι περιττός!»
Η Μαρία γέλασε.
Γιατί δεν έχει δίκιο ο Πέτρος;

7. Είμαι μικρότερος από το 15.
Δεν διαιρούμαι με το 2, ούτε με το 3, ούτε με το 5.
Ποιος αριθμός  είμαι;

8. Υπάρχουν δύο πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν μόνο κατά 2.
Π.χ. 3 και 5.
Βρες άλλα δύο τέτοια ζευγάρια μικρότερα του 20.

9. Μικροί ντετέκτιβ των αριθμών

Ένας αριθμός είναι μικρότερος από 20, περιττός και δεν διαιρείται με κανέναν

άλλο αριθμό εκτός από το 1 και τον εαυτό του.
Ποιοι αριθμοί μπορεί να είναι;
(Σκέψου τους πρώτους μικρότερους του 20.)

10.Ένας αριθμός διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του.

Πώς ονομάζεται;

(Γράψε τη λέξη με κεφαλαία.)

11. Στον πίνακα υπάρχουν οι αριθμοί:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Σβήσε όλους όσοι δεν είναι πρώτοι.

Ποιους αριθμούς κρατάς;

12.Γράψε τους διαιρέτες του κάθε αριθμού:

6, 7, 8, 9, 10, 11

👉 Ποιοι από αυτούς έχουν μόνο δύο διαιρέτες;

(Είναι οι πρώτοι αριθμοί!)

Υπενθύμιση

• Οι πρώτοι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

• Γράφουμε τον αριθμό ως γινόμενο μόνο πρώτων παραγόντων.

• Π.χ. 12 = 2 × 2 × 3 

13.Ο Ευκλείδης είπε:

«Κάθε αριθμός είναι είτε πρώτος είτε γινόμενο πρώτων παραγόντων».

Ανάλυσε τον αριθμό 14 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

14.Αν ο αριθμός 30 γράφεται ως 2 × 3 × 5,

τότε ποιοι είναι οι πρώτοι παράγοντές του;

ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΤΗ

για το ΣΤ ΄1     ΑΝΤΙΓΡΑΦΩ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΩ ΚΑΛΑ ΟΣΑ ΕΙΝΑΙ ΣΕ  ΜΠΛΕ ΦΟΝΤΟ

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Τι ζητούν επιτέλους οι πρώτοι; Οι πρώτοι αριθμοί είναι αρκετά απλοί.  Ακόμη κι ένα μικρό παιδί μπορεί να κατανοήσει τη φύση τους, αρκεί να γνωρίζει διαίρεση. Γιατί τότε υπάρχουν προβλήματα γύρω από τους πρώτους, που ταλαιπωρούν  τις μεγαλύτερες διάνοιες στο χώρο των μαθηματικών για περισσότερο από έναν αιώνα τώρα;  Τι δουλειά έχουν οι πρώτοι αριθμοί με τον κβαντικό μικρόκοσμο;Θα μπορούσαμε να πούμε  πως οι πρώτοι είναι για τους αριθμούς  ό,τι είναι τα άτομα για την ύλη: Ποιοι είναι, λοιπόν, οι πρώτοι αριθμοί;  Πολύ απλά, είναι όλοι εκείνοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν  και διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους.  Η λίστα των πρώτων αριθμών ξεκινά έτσι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,  79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Θα παρατηρήσατε πως απουσιάζει το 1 . Οι μαθηματικοί όμως δεν θέλουν το 1 στη λίστα  με τους πρώτους αριθμούς αφού διαιρείται μονο με το 1, Παρατηρήστε, επίσης, ότι το 2 είναι ο μοναδικός πρώτος που ταυτόχρονα είναι ζυγός.  Είναι προφανές πως δεν υπάρχει ζυγός πρώτος μεγαλύτερος του 2.  Πράγματι, κάθε ζυγός μεγαλύτερος από το δύο έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες –  τη μονάδα, το 2 και τον εαυτό του -, επομένως δεν είναι πρώτος.                                                                                                          ΚΑΝΟΝΑΣ Πράγματι, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής μας βεβαιώνει  πως κάθε φυσικός μεγαλύτερος της μονάδας είτε είναι πρώτος  είτε γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.  Έτσι, ο αριθμός 30 μπορεί να γραφτεί  ως 2⋅3⋅5 (όλοι πρώτοι) 30= 2 .3 . 5        ΚΑΝΟΝΑΣ                    Γινόμενο πρώτων παραγόντων Ένας  αριθμός μπορεί να γραφτεί και  ως γινόμενο πρώτων αριθμών (γινόμενο πρώτων παραγόντων). Το γεγονός ότι κάθε φυσικός αναλύεται με μοναδικό τρόπο  ως γινόμενο πρώτων εμφανίζεται στα "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ " του Ευκλείδη και θεωρείται ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής σκέψης. Αναλυουμε τους αριθμους 90 και 12 σε γινομενο πρωτων παραγοντων Θυμαμαι τους πρωτους για να ξεκινησω τις διαιρεσεις   2, 3, 5, 7, 11, 13,17…..απεξω τους μαθαινω Μπορούμε να συνεχίσουμε με παραδείγματα  αριθμών,  για να γίνει η τάξη ένα “μικρό εργαστήριο Ευκλείδη και Ερατοσθένη”! 36 | 2            18 | 2   9 | 3   3 | 3   1                       36=  2.2.3.3          ΕΛΕΓΧΩ: ΕΙΝΑΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟ 2 ΚΑΙ ΤΟ 3                                                                     ΣΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ   2.2.3.3                 24 | 2 12 | 2   6 | 2   3 | 3   1                             24=  2.2.2.3    ΕΛΕΓΧΩ: ΕΙΝΑΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΟ 2 ΚΑΙ ΤΟ 3                                                                     ΣΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ  2.2.2.3      Μπορούμε να πούμε ότι αυτη  η ελληνική μέθοδος   είναι ταυτόχρονα παράδοση και νοητική γυμναστική:  κρατάει το μυαλό σε εγρήγορση!!!!!!!!!!!!!!!!! για το σχολειο Βρίσκω τους διαιρέτες των αριθμων : 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10 11: 12: 13: Επιλέγω   όσους εχουν  μόνο δύο διαιρέτες ΜΕ ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΩΣ ΤΟ 100 ΤΙ ΠΑΡΑΤΗΡΩ;