ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΟΣΑ

 

Συνηθισμένες περιπτώσεις αντιστρόφως ανάλογων ποσών 
1. Εργάτες 
   

   $$
    Χρόνος (Ημέρες/Ώρες)
2. Ταχύτητα 
   

   $$
    Χρόνος (για την ίδια απόσταση)
3. Αριθμός Βρυσών 
   

   $$
    Χρόνος (γέμισμα δεξαμενής)
4. Τιμή Μονάδας 
   

   $$
    Ποσότητα (με συγκεκριμένα χρήματα)
5. Πλάτος 
   

   $$
    Μήκος (σε ορθογώνιο με σταθερό εμβαδό)
6. Πάχος αντικειμένου 
   

   $$
    Πλήθος αντικειμένων (σε συγκεκριμένο χώρο)
7. Δόντια Γραναζιού 
   

   $$
    Αριθμός Στροφών

• 1. Τιμή Μονάδας 
     

     $$
      Ποσότητα (με συγκεκριμένα χρήματα) πχ.
• 1.Έχεις 60

  

  $$

  € για να αγοράσεις βιβλία για τη βιβλιοθήκη σου.
  • Αν κάθε βιβλίο κοστίζει 
    

    $$
    15 €, μπορείς να αγοράσεις 
    

    $$
     4 βιβλία.
  • Αν κάθε βιβλίο κοστίζει 
    

    $$
    10 €, πόσα βιβλία (Χ
    

    $$
    ) μπορείς να αγοράσεις;
  Δόντια Γραναζιού    Αριθμός Στροφών
  Ένα μεγάλο γρανάζι με 40 δόντια κάνει 10  στροφές το λεπτό. Ένα μικρότερο γρανάζι που είναι συνδεδεμένο μαζί του έχει 20 δόντια. Πόσες στροφές ( χ) θα κάνει το μικρό γρανάζι;
  
• 
  
• Παράδειγμα από τη ζωή: Οι εργάτες και ο χρόνος που χρειάζονται για ένα έργο. Αν διπλασιάσουμε τους εργάτες (που δουλεύουν με τον ίδιο ρυθμό), ο χρόνος που θα χρειαστούν για να τελειώσουν θα διαιρεθεί δια δύο.

• 
  
  
  
  
  
  
  Το βασικο χαρακτηριστικο των αντιστρόφως ανάλογων ποσών:Σταθερό Γινόμενο: Όταν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει πάντα σταθερό. πχ 12
  
  Για να είσαι "αστερι" στο μάθημα, θυμήσου αυτά τα 3 σημεία:
  Η δοκιμή του γινομένου: Ο πιο σίγουρος τρόπος να ελέγξεις αν δύο ποσά είναι αντίστροφα είναι να πολλαπλασιάσεις τις τιμές τους. Το αποτέλεσμα (το γινόμενο) πρέπει να είναι πάντα το ίδιο.
  Παράδειγμα:
  Αν 2 εργάτες τελειώνουν σε 10 ημέρες (2.10=20), τότε οι 4 εργάτες πρέπει να τελειώνουν σε 5 ημέρες (4.5=20😀)
  ταχύτητα και χρόνος
  
  αν θέλεις να πας από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη, όσο πιο γρήγορα τρέχει το αυτοκίνητο (Ταχύτητα), τόσο λιγότερη ώρα θα χρειαστείς για να φτάσεις (Χρόνος).
  Ας δούμε πώς δουλεύει αυτό με τους αριθμούς που έδωσες στον ορισμό σου:
  Το Παράδειγμα

Ένα αυτοκίνητο πηγαίνει με ταχύτητα  100 χλμ./ώρα και φτάνει στον προορισμό του σε
 2 ώρες.Αν υποδιπλασιάσουμε την ταχύτητα (αν δηλαδή πάει με 50 χλμ./ώρα), τότε ο χρόνος θα διπλασιαστεί: θα χρειαστεί  4 ώρες.




Η απόσταση δύο πόλεων είναι   240   χλμ. Ένα αυτοκίνητο τη διανύει σε 3   ώρες. Αν ένα άλλο αυτοκίνητο πηγαίνει πιο αργά, με ταχύτητα    40  χλμ./ώρα, σε πόσες ώρες (Χ) θα κάνει την ίδια διαδρομή;

ΤΑΧΎΤΗΤΑ

ΩΡΕΣ

προβληματα για εξασκηση

ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΑ

Cheesecake

 Σε ένα περιοδικό βρήκαμε την παρακάτω συνταγή για Cheesecake για 6 άτομα

Συμπληρώστε σε  πίνακα τις ποσότητες υλικών για  να φτιάξουμε το ίδιο γλυκό για 4, 8 και 12 άτομα

Η ισότητα δύο κλασμάτων (λόγων) λέγεται Αναλογία.  

Ανάλογα Ποσά 

Ακούμε πολλές φορές φράσεις, όπως: «Θα του απαντήσω ανάλογα με το τι θα μού πει» ή «Θα δω και θα πράξω αναλόγως» ή «Θα ανταμοιφθείς ανάλογα με τη δουλειά σου.». Καταλαβαίνουμε ότι η λέξη "Ανάλογα" δηλώνει κάποια συσχέτιση μεταξύ εννοιών ή ποσοτήτων. 

Στα Μαθηματικά αυτή η συσχέτιση καθορίζεται με ακρίβεια:

 Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται αντίστοιχα και οι τιμές του άλλου. 

ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν είναι ο σωστός ο "απλοϊκός ορισμός": «Ανάλογα ποσά είναι αυτά για τα οποία ισχύει ότι όταν αυξάνεται το ένα, αυξάνεται και το άλλο». 😂

😂

😂

😂

 !σκεψου   ηλικία/βαρος

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ  ΓΙΑ ΕΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Είναι η πλευρά και η περίμετρος ανάλογα ποσά; Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας

Αν  διπλασιάσουμε την πλευρά, διπλασιάζεται και η περίμετρος;;;;;;;;;;

Ο λόγος:

Είναι η πλευρά και το εμβαδόν ανάλογα ποσά; Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας

Αν  διπλασιάσουμε την πλευρά, διπλασιάζεται και το εμβαδόν ;;;;;

Ο λόγος:       

            

προβληματα  για εξασκηση  εως  την Δευτερα

προχωρώ μεθοδικά βήμα βήμα

ΧΡΥΣΟΣ ΛΟΓΟΣ- Αιγές-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Οι αριθμοί δεν είναι μόνο στο τετράδιο.  Είναι στα κτίρια, στην ιστορία και στην ομορφιά.

 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ   Ο Χρυσός Λόγος στο σώμα μου

Μετράω:

Μέρος σώματος	Μήκος (cm)
Βραχίονας (αγκώνας – δάχτυλα)	______
Παλάμη (καρπός – μεσαίο δάχτυλο)	______

Υπολόγισε τον λόγο:

Βραχίονας : Παλάμη = ______ : ______

Αποτέλεσμα διαίρεσης: __________

Είναι κοντά στο 1,62; ☐ ΝΑΙ ☐ ΟΧΙ

---

 Σχεδιάζω ορθογώνιο με Χρυσό Λόγο

1. Σχεδίασε ένα τετράγωνο πλευράς 10 εκ.

2. Υπολόγισε: 10 × 1,62 = __________ τ.εκ

3. Επέκτεινε το σχήμα ώστε να σχηματιστεί ορθογώνιο.

 Σύγκριση σχημάτων

Ποιο σχήμα  σου φαίνεται πιο όμορφο;

☐ 10 × 10 ☐ 10 × 14 ☐ 10 × 16,2 ☐ 10 × 20

Γιατί;

....................................................................................

---

 Σκέφτομαι και απαντώ

Συμπλήρωσε:

Ο Χρυσός Λόγος υπάρχει στο/στην: ....................................................................................

Έμαθα ότι τα Μαθηματικά μπορούν να είναι: ....................................................................................

---

👧Οι αριθμοί δεν είναι μόνο πράξεις. Είναι σχέσεις και αρμονία.

απλά:

Οι αρχαίοι πίστευαν ότι η ομορφιά δεν είναι τυχαία.
Είναι σχέση.
Είναι λόγος.

Και κάπου εκεί… χαμογελάει κι ο Ηράκλειτος 😉

Χρυσή τομή και κρυμμένα μυστικά στο ανάκτορο του Φιλίππου του Β’

ΧΡΥΣΟΣ ΛΟΓΟΣ- μαθηματικά Στ΄

Φαίνεται ότι η τεράστια συνεισφορά των Μακεδόνων -που δεν το έχουμε συνειδητοποιήσει ακόμα- στην παγκόσμια τέχνη είναι η αρχιτεκτονική» 

Το ανάκτορο του Φιλίππου Β΄ στις Αιγές δεν είναι απλώς ένα μεγάλο και εντυπωσιακό κτίριο. Είναι ένα κτίριο σχεδιασμένο με μαθηματική ακρίβεια, βασισμένο στον Χρυσό Λόγο.

Τι είναι ο Χρυσός Λόγος;

Ο Χρυσός Λόγος είναι ένας ιδιαίτερος αριθμός:

1,62 (περίπου)

Εμφανίζεται όταν συγκρίνουμε δύο μεγέθη που βρίσκονται σε ιδανική αναλογία, δηλαδή σε μια σχέση που το ανθρώπινο μάτι αντιλαμβάνεται ως όμορφη και αρμονική.

Παράδειγμα από το ανάκτορο

Αν γράψουμε τον λόγο:

Ύψος κίονα
προς
Ύψος βάσης

και κάνουμε τη διαίρεση,
το αποτέλεσμα είναι:

👉 1,62

Αυτό δεν συμβαίνει τυχαία.

Το ίδιο παρατηρείται:

• στο ύψος του κτιρίου

• στην πρόσοψη

• στις πόρτες σε σχέση με τα σκαλοπάτια

• σε πολλές ακόμη λεπτομέρειες του ανακτόρου

👉 Όλο το κτίριο βασίζεται στην ίδια αναλογία.

• αρμονικό

• ισορροπημένο

• όμορφο

«Ολο το κτίριο είναι σχεδιασμένο με χρυσές αναλογιες. Γι' αυτό, όταν το κοιτάμε μας φαίνεται όμορφο, μας αρέσει η πρόσοψη αυτή. Είναι αυτό που βρήκε ο Πυθαγόρας, είναι ο Θεική Αρμονια κατά Πλάτωνα.

Οι αρχιτέκτονες του Φιλίππου Β΄ χρησιμοποίησαν αυτή την αναλογία σκόπιμα.
Δεν έχτιζαν τυχαία.
Έχτιζαν με μαθηματική αρμονία.

Μαθηματικά και Φιλοσοφία

Αυτή η αναλογία ήταν γνωστή από την αρχαιότητα.

• Ο Πυθαγόρας μίλησε για την αρμονία των αριθμών.

• Ο Πλάτωνας τη χαρακτήρισε Θεία Αρμονία.

• Στην κάτοψη του ανακτόρου ενσωματώνεται μια πολύπλοκη γεωμετρία:

  • κύκλοι

  • τετράγωνα

  • τρίγωνα

Τα εμβαδά τους ακολουθούν την ακολουθία Φιμπονάτσι:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

---

Οι μαθηματικοί πίσω από τη Χρυσή Τομή

• Θεανώ, μαθήτρια του Πυθαγόρα και αργότερα γυναίκα του, θεωρείται η πρώτη μαθηματικός στον κόσμο που αναφέρθηκε στον Χρυσό Λόγο.

• Αργότερα, ο Ευκλείδης   τον 12ο αιώνα, η θεωρία επανέρχεται στο προσκήνιο από τον Φιμπονάτσι.

Α. Κοτταριδη,ΑΡχαιολόγος

Το μνημείο καταστράφηκε από τους Ρωμαίους το 148 π.Χ

Λόγος (μαθηματικά) =ΚΛΑΣΜΑ, ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ

σχολικο βιβλιο  πατα εδω👇

ΛΟΓΟΣ = ---------------------- = ΠΗΛΙΚΟ




ΠΟΙΑ ΣΧΕΣΗ ΕΧΟΥΝ ΟΙ ΔΥΟ ΣΑΝΙΣΕΣ ; 

απάντηση:................................................................................................................................


Λόγος (μαθηματικά) =ΚΛΑΣΜΑ
ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ

επανάληψη στις εξισώσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ-ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΩ

Εξερευνητής εξισώσεων: τα βασικά ΠΑΙΧΝΙΔΙ

 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 

Χρησιμοποιήστε μια ζυγαρια ισορροπίας για να λύσετε μια εξίσωση με ένα άγνωστο
και αιτιολογήστε τις στρατηγικές σας για επίλυση



πατήστε πανω στην εικόνα
για να μπείτε στο εργαστήριο👇


πατήστε πανω στην εικόνα
για να μπείτε στο εργαστήριο👇



https://phet.colorado.edu/sims/html/equality-explorer/latest/equality-explorer_all.html?locale=el

εμβαδον

ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΟΥ ΑΠΟΥΣΙΑΖΑΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ  ΠΟΥ ΚΑΝΑΜΕ ΣΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ