| 1. | Καλημέρα, φίλε μου Αριθμέ (Φυσικοί αριθμοί) 0,1,2,3,.....άπειρο
Φυσικοί αριθμοί Οι αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99, ..., 1000, ...λέγονται φυσικοί αριθμοί. Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 0, σχηματίζεται από τον προηγούμενό του, με την πρόσθεση του αριθμού 1. | Παραδείγματα Ο αριθμός 6 έχει επόμενο τον αριθμό 7, ο αριθμός 99 τον αριθμό 100, ο αριθμός 1000 τον αριθμό 1001 κ.ο.κ. | Για τη γραφή όλων των φυσικών αριθμών υπάρχουν δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Το ίδιο ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό, δηλώνει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λπ. |
|
| 2. | Αριθμοί με... συνοδεία (Δεκαδικοί αριθμοί) 0,123 Ε Δ Μ , δ ε χ
Δεκαδικοί αριθμοί Δεκαδικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που αποτελούνται από ένα ακέραιο και ένα δεκαδικό μέρος. Τα δύο μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με την υποδιαστολή (,). Όπως οι φυσικοί, έτσι και οι δεκαδικοί αριθμοί, σχηματίζονται από μονάδες διάφορων τάξεων στο ακέραιο και στο δεκαδικό μέρος. | Παραδείγματα 1,72 27,39 384,206 Στους παραπάνω δεκαδικούς αριθμούς το ψηφίο 2 έχει διαφορετική αξία, ανάλογα με τη θέση που έχει στον αριθμό. | Τόσο στο ακέραιο όσο και στο δεκαδικό μέρος κάθε τάξη είναι 10 φορές μεγαλύτερη από την αμέσως επόμενη προς τα δεξιά της. Η αξία ενός δεκαδικού αριθμού δεν αλλάζει, αν προσθέσουμε ή διαγράψουμε μηδενικά στο τέλος του. | 1 δέκατο = 10 εκατοστά 1 εκατοστό = 10 χιλιοστά (δείξτε το στο χάρακά σας) 0,1 = 0,10 0,01 = 0,010 |
|
| 3. | Οι αριθμοί αλλάζουν εμφάνιση (Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα)
Οι δεκαδικοί αριθμοί είναι δυνατό να γραφούν ως δεκαδικά κλάσματα και τα δεκαδικά κλάσματα ως δεκαδικοί αριθμοί. | Παραδείγματα Ο αριθμός 0,5 μπορεί να γραφεί ως  . Ο αριθμός  μπορεί να γραφεί ως 0,8. | Για να γράψουμε έναν δεκαδικό αριθμό ως κλάσμα, γράφουμε όλο τον αριθμό, χωρίς την υποδιαστολή, στη θέση του αριθμητή και στη θέση του παρονομαστή γράφουμε τον αριθμό 1 με τόσα μηδενικά όσα ήταν τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού. | Ο αριθμός 1,5 γίνεται: 15 αριθμητής, με παρονομαστή το 10, δηλαδή  ή 1 . |
|
| 4. | Οι αριθμοί αναμετριούνται (Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών αριθμών)
Δύο αριθμοί (φυσικοί ή δεκαδικοί) μπορούν πάντα να συγκριθούν μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της σύγκρισης εκφράζεται με τα σύμβολα <, >, =. | Παραδείγματα 801 < 811 1,13 < 1,15 |
|
| 5. | Προσθέσεις και αφαιρέσεις (Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών)
Πρόσθεση και αφαίρεση αριθμών Αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αντιμεταθετική ιδιότητα). | Παραδείγματα | προσθετέοι άθροισμα | | 49 + 16 = 65 | | 3,2 + 11,5 = 14,7 | | 16 + 49 = 65 | | 11,5 + 3,2 = 14,7 |
| Σε μια πρόσθεση πολλών αριθμών, προσθέτουμε πρώτα τους δύο και μετά στο άθροισμά τους τον τρίτο κ.ο.κ. Αν αλλάξουμε τα ζευγάρια των προσθετέων, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δεν αλλάζει (προσεταιριστική ιδιότητα). | 49 + 16 + 14 = (49 + 16) + 14 = 65 + 14 = 79 49 + 16 + 14 = 49 + (16 + 14) = 49 + 30 = 79 | Η αφαίρεση είναι πράξη αντίστροφη της πρόσθεσης. Σε κάθε αφαίρεση, αν προσθέσουμε τη διαφορά και τον αφαιρετέο, βρίσκουμε τον μειωτέο. | | μειωτέος - αφαιρετέος = διαφορά | | 693 - 541 = 152 | | 92,5 - 48,2 = 44,3 | | 152 + 541 = 693 | | 44,3 + 48,2 = 92,5 |
|
Οι ιδιότητες της πρόσθεσης μας βοηθούν να υπολογίζουμε πιο γρήγορα αθροίσματα με πολλούς αριθμούς. Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς γίνονται όπως και στους φυσικούς. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα ψηφία σύμφωνα με την αξία τους. |
| 6. | Οι αριθμοί αναπαράγονται (Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών)
Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών Στον πολλαπλασιασμό, αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων, δεν αλλάζει το γινόμενο (αντιμεταθετική ιδιότητα). | Παραδείγματα παράγοντες γινόμενο 2 · 8 = 16 ή 2 · 8 = 16 2,5 · 8,4 = 21 ή 8,4 · 2,5 = 21 | Για να πολλαπλασιάσουμε τρεις αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τους δύο μεταξύ τους και μετά το γινόμενό τους με τον τρίτο (προσεταιριστική ιδιότητα). | (2 · 3) · 5 = 6 · 5 = 30 ή 2 · (3 · 5) = 2 · 15 = 30 (2,5 · 3) · 4,2 = 7,5 • 4,2 = 31,5 ή 2,5 • (3 • 4,2) = 2,5 • 12,6 = 31,5 | Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε προσθετέο και να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση). Η ιδιότητα αυτή ισχύει και ως προς την αφαίρεση. | το γινόμενο 20 · (12 + 0,5) μπορεί να βρεθεί κι έτσι: 20 · 12 + 20 · 0,5 = 240 + 10 = 250 20 · (12 - 2) = 20 · 12 - 20 · 2 = 240 - 40 = 200 |
Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού μας βοηθούν να υπολογίζουμε εύκολα γινόμενα με πολλούς αριθμούς. Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς γίνεται όπως και στους φυσικούς. Στο γινόμενο τα δεκαδικά ψηφία είναι τόσα, όσα ήταν συνολικά τα δεκαδικά ψηφία σε όλους τους παράγοντες. |
| 7. | Δίκαιη μοιρασιά! (Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών) |
| 8. | Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών Τέλεια λέγεται η διαίρεση στην οποία το υπόλοιπο είναι 0. Όταν το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το 0, η διαίρεση λέγεται ατελής | Παραδείγματα 
| Η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού. Σε κάθε διαίρεση ο διαιρετέος είναι ίσος με το γινόμενο του διαιρέτη επί το πηλίκο συν το υπόλοιπο. | 
| Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με άθροισμα δύο ή περισσότερων προσθετέων, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό με κάθε προσθετέο και να προσθέσουμε τα επιμέρους γινόμενα (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση). Η ιδιότητα αυτή ισχύει και ως προς την αφαίρεση. | | 12 : 1 = 12 | | 3,5 : 1 = 3,5 | | 12 : 12 = 1 | | 3,5 : 3,5 = 1 |
| Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με το 1, δίνει πηλίκο τον εαυτό του. Κάθε αριθμός, αν διαιρεθεί με τον εαυτό του, δίνει πηλίκο το 1. | | Το 0, με όποιον αριθμό και αν διαιρεθεί, δίνει πηλίκο 0. Σε κάθε διαίρεση, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο δεν αλλάζει. | | 12 : 3 = 4 | | (12 · 2) : (3 · 2) = 24 : 6 = 4 |
|
Μαθαίνω τη γλώσσα των αριθμών (Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις)
Αριθμητικές παραστάσεις Μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων λέγεται αριθμητική παράσταση. | Παραδείγματα 45 + 6 + 3,2 + 0,9 + 65 8 · 2,5 + 40 | Σε ένα πρόβλημα, όταν θέλουμε να υπολογίσουμε μια ποσότητα, πρέπει να κάνουμε κάποιες πράξεις με συγκεκριμένη σειρά. Όλα αυτά μπορούμε να τα εκφράσουμε με μια αριθμητική παράσταση. | Αγόρασα 2 παγωτά των 0,90 € το καθένα και 3 μπουκαλάκια νερό των 0,45 € το καθένα. Πόσο πλήρωσα; Λύση: 2 · 0,90 + 3 · 0,45 = 1,80 + 1,35 = 3,15 | Στις αριθμητικές παραστάσεις, οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: α) πρώτα πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις και β) μετά προσθέσεις και αφαιρέσεις | 15 : 3 · 5 + 3,5 = 5 · 5 + 3,5 = 25 + 3,5 = 28,5 (αφού η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός έχουν την ίδια προτεραιότητα, εκτελούμε τις πράξεις από αριστερά προς τα δεξιά και μετά την πρόσθεση) | Αν υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. | (117,6 + 98,4) : (40 - 22) = 216 : 18 = 12 |
|
| 9. | Μιλώ τη γλώσσα των αριθμών (Λύνω σύνθετα προβλήματα των 4 πράξεων)
Λύνω προβλήματα Όταν έχω να λύσω ένα πρόβλημα ακολουθώ με τη σειρά τα παρακάτω βήματα: Αν δεν είναι γραμμένο, το γράφω γιατί έτσι θα μπορέσω να το μελετήσω καλύτερα: Τέλος ελέγχω αν το αποτέλεσμα είναι λογικό. Αν δεν είναι, αρχίζω τα βήματα από την αρχή. |
| 10. | Ενα μηχάνημα που μιλάει μαθηματικά μαζί μου (Η χρήση του υπολογιστή τσέπης)
Ο υπολογιστής τσέπης - (Πότε;) Χρησιμοποιούμε τον υπολογιστή τσέπης για να πραγματοποιήσουμε γρήγορα μεγάλους υπολογισμούς, ή για να κάνουμε γρήγορη επαλήθευση των αποτελεσμάτων μας.
- (Τι είδους;) Διαλέγουμε έναν υπολογιστή απλό κι εύχρηστο και όχι κάποιον με χαρακτηριστικά που δεν μας χρειάζονται όπως, για παράδειγμα, να κάνει επιστημονικούς υπολογισμούς και γραφήματα ή να έχει μουσική και ρολόι.
- (Όρια;) Σε έναν υπολογιστή τσέπης η οθόνη «χωράει» συνήθως 8 ή 9 ψηφία. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να επεξεργαστεί αριθμούς με περισσότερα ψηφία από αυτά.
- (Έλεγχος;) Το αποτέλεσμα της πράξης που κάναμε στον υπολογιστή τσέπης χρειάζεται να το εξετάζουμε με τη λογική. Αρκετές φορές καταλήγουμε σε λανθασμένους υπολογισμούς, γιατί είτε κάναμε λάθος στην πληκτρολόγηση κάποιου συμβόλου ή της υποδιαστολής είτε δεν λάβαμε υπόψη τη σειρά των πράξεων
|
| 11. | Πρόχειροι λογαριασμοί (Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών)
Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών
Συχνά στη θέση κάποιου αριθμού χρησιμοποιούμε κάποιον άλλο, μικρότερο ή μεγαλύτερο, πολύ κοντινό στον αρχικό, για πρακτικούς λόγους. Αυτή η διαδικασία λέγεται στρογγυλοποίηση. Αν το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά από εκείνο στο οποίο θέλουμε να γίνει η στρογγυλοποίηση είναι 0, 1, 2, 3 ή 4, τότε απλώς το αντικαθιστούμε, όπως και όλα τα επόμενα προς τα δεξιά, με μηδενικά.
Αν το ψηφίο που βρίσκεται στα δεξιά είναι 5, 6, 7, 8 ή 9, τότε αυξάνουμε το ψηφίο στο οποίο θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε κατά μία μονάδα και μετά αντικαθιστούμε τα ψηφία στα δεξιά του με μηδενικά. | |
Δεν στρογγυλοποιούμε τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται ως κώδικας επικοινωνίας (π.χ. ο αριθμός της ταυτότητας ή της πινακίδας του αυτοκινήτου, ο Τ.Κ. του σπιτιού κ.λπ.). |
|
|
| 12. | Μπαίνεις μόνο αν χωράς ακριβώς (Διαιρέτες ενός αριθμού - Μ.Κ.Δ. αριθμών)
Διαιρέτες αριθμού, Μ.Κ.Δ. αριθμών Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρεί ακριβώς έναν άλλο φυσικό αριθμό λέγεται διαιρέτης του. | Παραδείγματα Ο αριθμός 9 έχει διαιρέτες τους αριθμούς: 1, 3, 9. | Δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους λέγεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.). | Ο αριθμός 16 έχει διαιρέτες τους αριθμούς: 1, 2, 4, 8, 16.
Ο αριθμός 24 έχει διαιρέτες τους: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Οι αριθμοί 1, 2, 4, 8 είναι κοινοί διαιρέτες του 16 και του 24.
Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους είναι το 8. |
|
| 13. | Μάντεψε το μυστικό κανόνα μου (Κριτήρια διαιρετότητας) |
| 14. | Κριτήρια διαιρετότητας 1. Ένας αριθμός διαιρείται με το 10, το 100, το 1000, ...,
αν τελειώνει σε ένα, δύο, τρία, ... μηδενικά αντίστοιχα. | Παραδείγματα Ο αριθμός 230 διαιρείται με το 10, ο αριθμός 2300 με το 10 και το 100, ... | 2. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2,
αν τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8. | Οι αριθμοί 6, 28, 374, 1350 διαιρούνται με το 2. | 3. Ένας αριθμός διαιρείται με το 5,
αν τελειώνει σε 0 ή σε 5. | Οι αριθμοί 75, 105, 300, 2630 διαιρούνται με το 5. | 4. Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9,
αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή με το 9. | Ο αριθμός 201 διαιρείται με το 3, ενώ ο αριθμός 261 διαιρείται με το 3 και το 9. | 5. Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 ή το 25,
αν το τελευταίο διψήφιο τμήμα του διαιρείται με το 4 ή με το 25. | Το 132 διαιρείται με το 4, ενώ το 275 διαιρείται με το 25. | | Οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2 λέγονται άρτιοι (ζυγοί) αριθμοί ενώ οι υπόλοιποι λέγονται περιττοί (μονοί). | 0, 2, 4, ..., 98, 100, ..., 948,... |
Είμαστε και οι πρώτοι! (Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί) |
| 15. | Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί Ένας αριθμός, μεγαλύτερος από το 1, που έχει μόνο δύο διαιρέτες (το 1 και τον εαυτό του) λέγεται πρώτος. |
Παραδείγματα Ο αριθμός 2, έχει για διαιρέτες μόνο το 1 και το 2. | Ένας αριθμός που έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες λέγεται σύνθετος. | Ο αριθμός 4, έχει για διαιρέτες το 1, το 2 και το 4. |
Ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος ( έχει μόνο έναν διαιρέτη, τον εαυτό του).
Γινόμενο πρώτων παραγόντων Ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να εκφραστεί και ως γινόμενο πρώτων αριθμών (γινόμενο πρώτων παραγόντων).
90=2.3.3.5 | Παραδείγματα Ο αριθμός 10, μπορεί να εκφραστεί και ως 2 · 5. |
|
| 16. | Εχουμε πολλά κοινά μεταξύ μας (Πολλαπλάσια ενός αριθμού - Ε.Κ.Π.)
Πολλαπλάσια φυσικού αριθμού, Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών Πολλαπλάσιο ενός φυσικού αριθμού λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν άλλο φυσικό αριθμό. Κάθε φυσικός αριθμός έχει άπειρα πολλαπλάσια.
Κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών λέγονται οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια όλων αυτών των φυσικών αριθμών. | Παραδείγματα Πολλαπλάσια του 4 είναι οι αριθμοί: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ..., άπειρο
Πολλαπλάσια του 6 είναι οι αριθμοί: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ..., άπειρο
Κοινά πολλαπλάσια του 4 και του 6 (εκτός από το 0) είναι οι αριθμοί 12, 24, 36, ... | Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια, εκτός από το 0, λέγεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.). | Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 4 και του 6 είναι το 12. |
|
| 17. | Πολλοί μαζί είμαστε πιο δυνατοί (Δυνάμεις) |
α. Βρες την περίμετρο του χαρτονιού που έμεινε μετά το κόψιμο
(το σκούρο μέρος του σχήματος).
β. Βρες το εμβαδόν του χαρτονιού
που έμεινε μετά το κόψιμο (το
σκούρο μέρος του σχήματος).
γ. Βρες τι ποσοστό του εμβαδού
του αρχικού χαρτονιού είναι το εμβαδόν του τετράγωνου που κόπηκε .
