γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΜΑΘΑΙΝΩ ΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΚΑΛΑ 

ΤΟΥΣ ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΩ ΣΤΗΝ ΦΩΤΟΤΥΠΙΑ

Το γεγονός ότι κάθε φυσικός αναλύεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων

 εμφανίζεται στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη
και θεωρείται ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής σκέψης.

ΚΑΝΟΝΑΣ
Για να αναλύσετε έναν αριθμό σε γινόμενο πρώτων,

 εξετάζετε με ποιον πρώτο αριθμό διαιρείται ξεκινώντας από το 2, το 3, το 5 κτλ
. πχ.Γράφουμε τον αριθμό 140, φέρνουμε δεξιά του μια κατακόρυφη γραμμή 

και αρχίζουμε διαδοχικές διαιρέσεις:




Όπως είπαμε και στο μάθημα, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, 

είναι χρήσιμη για να βρίσκουμε  τον ΜΚΔ μεγάλων αριθμών.

                                                                                   

ΚΑΝΟΝΑΣ  Γινόμενο πρώτων παραγόντων                

Ένας   φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί και ως γινόμενο πρώτων αριθμών (γινόμενο πρώτων παραγόντων).

                                                                                   

ΚΑΝΟΝΑΣ

Πρώτος λέγεται κάθε αριθμός που διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1.
π.χ. πρώτοι είναι το 2, το 3, το 5, το 7, το 11,.......

                                                                                                        

Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου στο 300 π.Χ. 

Πίνακας των  Πρώτων αριθμών στο διάστημα 1 έως 173

      2      3      5      7     11     13     17     19     23     29 
     31     37     41     43     47     53     59     61     67     71 
     73     79     83     89     97    101    103    107    109    113 
    127    131    137    139    149    151    157    163    167    173 

Είμαστε και οι Πρωτοι! Πρώτοι αριθμοί 2.500 ετών.!!!!!!!!!!!

ΠΡΟΣΟΧΗ

ΜΕ ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΩΣ ΤΟ 100

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Τι ζητούν επιτέλους οι πρώτοι;

Οι πρώτοι αριθμοί είναι αρκετά απλοί. Ακόμη κι ένα μικρό παιδί μπορεί να κατανοήσει τη φύση τους, αρκεί να γνωρίζει διαίρεση.

Γιατί τότε υπάρχουν προβλήματα γύρω από τους πρώτους, που ταλαιπωρούν τις μεγαλύτερες διάνοιες στο χώρο των μαθηματικών για περισσότερο από έναν αιώνα τώρα; Τι δουλειά έχουν οι πρώτοι αριθμοί με τον κβαντικό μικρόκοσμο;Θα μπορούσαμε να πούμε πως οι πρώτοι είναι για τους αριθμούς ό,τι είναι τα άτομα για την ύλη:

Ποιοι είναι, λοιπόν, οι πρώτοι αριθμοί; 

Πολύ απλά, είναι όλοι εκείνοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους.

 Η λίστα των πρώτων αριθμών ξεκινά έτσι:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Θα παρατηρήσατε πως απουσιάζει το 1 . Οι μαθηματικοί όμως δεν θέλουν το 1 στη λίστα με τους πρώτους αριθμούς αφού διαιρείται μονο με το 1,

Παρατηρήστε, επίσης, ότι το 2 είναι ο μοναδικός πρώτος που ταυτόχρονα είναι ζυγός. Είναι προφανές πως δεν υπάρχει ζυγός πρώτος μεγαλύτερος του 2. 

Πράγματι, κάθε ζυγός μεγαλύτερος από το δύο έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες – τη μονάδα, το 2 και τον εαυτό του -, επομένως δεν είναι πρώτος.

                                                                                                        

ΚΑΝΟΝΑΣ

Πράγματι, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής μας βεβαιώνει

 πως κάθε φυσικός μεγαλύτερος της μονάδας

είτε είναι πρώτος 

είτε γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.

 Έτσι, ο αριθμός 30 μπορεί να γραφτεί  ως 2⋅3⋅5 (όλοι πρώτοι)

30= 2 .3 . 5

                                                                                                        

             ΚΑΝΟΝΑΣ                   



Γινόμενο πρώτων παραγόντων

Ένας σύνθετος αριθμός μπορεί να γραφτεί και ως γινόμενο πρώτων αριθμών (γινόμενο πρώτων παραγόντων).

Το γεγονός ότι κάθε φυσικός αναλύεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφανίζεται στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη

και θεωρείται ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής σκέψης.